Эрмитовы матрицы
56. Единственные нормальные матрицы, с которыми мы будем часто иметь дело, это эрмитовы матрицы, обычно вещественные и симметричные. Решение собственной проблемы для комплексной эрмитовой матрицы может быть сведено к решению проблемы для вещественной симметричной матрицы следующим способом. Предположим, что
Тогда, если 
собственное значение А (обязательно вещественное) и 
соответствующий собственный вектор, то мы имеем
т. е.
Следовательно,
и так как
ортогональны, расширенная вещественная матрица имеет 
двукратным собственным значением. Очевидно, что расширенная матрица будет вещественная и симметричная и ее собственные значения будут
Большая часть лучших алгорифмов определения собственной системы вещественных симметричных матриц приводит к вещественным приближениям собственных значений и собственных векторов. Поэтому круги о которых мы упоминали, становятся интервалами на вещественной оси.
Заметим, что если 
есть отношение Релея, соответствующее данному 
и
то, так как 
мы имеем
так что 
являются точными собственным вектором и собственным значением для матрицы 
Если А симметричная, то эта матрица также симметричная, и мы имеем дело с симметричным возмущением симметричной матрицы. Легко проверить, что
если 
Если мы получим 
приблияенных собственных значений и собственных векторов и интервалы разделены, то мы знаем, что в каждом из них существует точно одно собственное значение. Результат последнего параграфа даст нам возможность локализировать собственные значения очень точно, если только они неплохо отделены. Таким образом, если для матрицы четвертого порядка имеем отношения Релея и радиусы 
определенные так:
то мы сразу же видим, что существует по крайней мере одно собственное значение в каждом из интервалов
Очевидно, что эти интервалы разделены и, следовательно, каждый содержит точно одно собственное значение.
Теперь мы проиллюстрируем использование результата § 55, получив очень точную оценку для собственного значения 
во втором интервале. Очевидно, что
Следовательно, мы можем взять 
и (55.3) дает
Несмотря на то, что и 
могут считаться совсем близкими, отношение Релея очень точно. Частные 
даже более точные. На практике мы найдем, что отношение Релея настолько точно (за исключением патологически близких собственных значений), что оно должно вычисляться с большой осторожностью, если нужно реализовать полностью его возможности.
