ГЛАВА 2. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Введение

1. В первой главе мы имели дело с математическим обоснованием алгебраической проблемы собственных значений. Остальная часть книги посвящена рассмотрению практических задач, возникающих при вычислении собственных значений и собственных векторов на цифровых вычислительных машинах и в определении точности вычисленных значений. Главное внимание будет обращено на оценку влияния различных ошибок, которые присущи формулировке задачи и способам ее решения. Здесь возникают три главных проблемы.

(i) Элементы данной матрицы могут определяться прямо из физических наблюдений, и потому они могут иметь ошибки, свойственные всем наблюдениям. В этом случае матрица А, которую мы имеем, является приближением матрицы, соответствующей точным измерениям. Если мы можем утверждать, что ошибка в любом элементе А ограничена числом то можем сказать, что правильная матрица есть где некоторая матрица, для которой

Полное решение поставленной задачи состоит не только в определении собственных значений А, но также и в оценке возможных вариаций собственных значений всех матриц класса где удовлетворяет условию (1.1). Мы сразу приходим к задаче о нахождении возмущений собственных значений матрицы, соответствующих возмущению ее элементов.

(ii) Элементы матрицы могут быть заданы точно математическими формулами, но работать с такой точной матрицей на цифровых машинах все же невозможно. Если элементы матрицы иррациональны, это почти всегда так. Но даже если они рациональны, их точное представление может потребовать большего числа цифр, чем имеется в машинной шкале. Матрица А, например, может быть произведением некоторых матриц, элементы которых имеют полное число знаков, нормально используемое в вычислительной машине. Очевидно, что мы имеем дело с почти той же проблемой, что и в Данная матрица будет где матрица ошибки.

(iii) Даже если мы можем рассматривать матрицу, заданную в вычислительной машине, как точную, это все же неверно, вообще говоря, для вычисленного решения. Наиболее часто при вычислении решения считают последовательность преобразований подобия исходной матрицы А, и ошибки округления вносятся при проведении каждого из этих преобразований. На первый взгляд ошибки, возникающие из этих преобразований, имеют другую природу, чем ошибки в Однако, вообще говоря, это неверно. Часто мы сможем показать, что вычисленные матрицы точно подобны матрицам где имеют малые элементы, являющиеся функциями ошибок округления,

а также найти точные границы для Собственные значения будут поэтому точно равны собственным значениям и снова мы приходим к рассмотрению возмущений собственных значений и собственных векторов матрицы, соответствующих возмущению ее элементов.