Неполная система собственных векторов

7. Свойства матриц, подобных диагональной, но имеющих кратные корни, очень сходны со свойствами матриц с различными собственными значениями. Однако не все матрицы с кратными собственными значениями таковы. Матрица

имеет двукратное собственное значение Если собственный вектор с компонентами и то

Эти уравнения означают, что так что существует лишь один собственный вектор, соответствующий именно вектор Мы можем рассматривать как предел при а матрицы равной

При а эта матрица имеет два собственных значения с соответствующими векторами

При а оба собственных значения иоба собственных вектора совпадают. Если мы определим матрицы соотношениями

то будет иметь единственное собственное значение а кратности и только один собственный вектор можем доказать это так же, как и для С другой стороны, это следует из того, что ранг равен (Определитель матрицы порядка в правом верхнем углу равен единице). Транспонированная матрица также будет иметь лишь один собственный вектор Очевидно,

что отличается от результата для матриц с различными собственными значениями.

Матрицу нельзя привести к диагональной форме преобразованием подобия. Действительно, если существует такая, что

т. е.

то, как показано в должны совпадать с собственными значениями следовательно, должны быть все равны а. Из уравнения (7.7) тогда следует, что все столбцы матрицы это собственные векторы Эти столбцы линейно независимы, так как неособенная. Предположение о существовании такой следовательно, ложно.

Матрица называется простой жордановой подматрицей порядка или иногда простой классической подматрицей порядка Матрицы этого вида играют важную роль в теории, как будет видно в следующем параграфе.