Нарушение порядка собственных значений

31. Приведенное доказательство показывает, что если мы предположим, что все ведущие главные миноры не равны нулю, то получим не только сходимость в основном, но и правильное расположение собственных значений на диагонали. При этом на матрицу X не накладываются соответствующие ограничения. Для матрицы третьего порядка очевидно, что если (т. е. главный минор первого порядка равен нулю, то все равно стремятся к пределу. Сейчас мы формально установим это в общем случае, когда несколько главных миноров равны нулю.

Хотя в этом случае не будет иметь разложения в произведение треугольных, всегда существует такая матрица перестановок что имеет разложение в произведение треугольных. В гл. 4, § 21 мы показали, как определить такую используя правило выбора ведущего элемента. В терминах метода Гаусса на каждой стадии берем в качестве ведущего элемента наибольший по модулю элемент в ведущем столбце. Вместо этого предположим, что на этапе мы выбираем в качестве ведущего элемента первый отличный от нуля элемент из и если это -элемент, то переставляем строки в порядке Тогда окончательно имеем

где имеет некоторое количество нулей под диагональю в позициях, связанных с матрицей перестановок Так как — неособенная, то на каждой стадии обязательно будет ненулевой ведущий элемент. Поэтому можно написать

Матрица диагональная с элементами расположенными в другом порядке, в то время как получена из X перестановкой столбцов. Если мы положим

то

Так как элементы к не находятся в естественном порядке в на первый взгляд кажется, что уже не стремится к Однако если мы обозначим диагональные элементы через то -элемент матрицы равен и правило выбора ведущего элемента для обеспечивает если Следовательно, мы можем написать где при Матрицы поэтому стремятся в основном к матрице полученной при факторизации