Комплексно сопряженные собственные значения
25. Возвращаясь теперь к случаю, когда наименьшие собственные значения суть комплексно сопряженная пара, мы можем ожидать, что собственные значения матрицы второго порядка являются приближениями к этой паре. Предположим, что на данном этапе собственные значения этой матрицы равны 
Если мы выполним два шага обычного LR-алгорифма, используя сначала сдвиг 
а потом 
то, хотя нам придется, конечно, использовать комплексную арифметику, мы покажем, что при точных вычислениях вторая вычисленная матрица будет вещественной. Обозначая три соответствующие матрицы через 
и имеем
Используя (20.8), получим
и очевидно, что правая часть вещественная. Предполагая, что эта вещественная матрица неособенная, т. е. что 
не являются точными собственными значениями 
получаем, что ее разложение в произведение треугольных, если оно существует, единственно, и треугольные матрицы вещественны. Поэтому треугольная матрица 
в (25.2) должна быть вещественной. Так как
мы видим, что А также вещественная.
Можно было бы ожидать, что при выполнении двух шагов LR-алгоритма вычисленная матрица 
будет иметь пренебрежимо малую мнимую часть, и ее можно считать точно вещественной. К сожалению, это не так, и нет ничего необычного в том, что конечная матрица может иметь весьма значительную мнимую часть. Процесс численно устойчив в том смысле, что собственные значения вычисленной 
близки к собственным значениям А (если только 
неплохо обусловлена по отношению к проблеме собственных значений), но так же, как часто оказывалось раньше, нет никаких гарантий, что окончательно вычисленная матрица будет близка к матрице, которая получилась бы при точных вычислениях.
26. Для того чтобы увидеть, как это может получиться, рассмотрим случай, когда 
есть квадратная матрица второго порядка из 
собственными значениями 
Имеем
Если выполним один шаг 
-алгорифма, используя сдвиг, в точности равный 
, то получим выписанную в (26.1) матрицу 
и первый столбец 
состоит из нулей. Следовательно, разложение в произведение
треугольных 
не единственно. Соответственно, если применим сдвиги 
где 
мало, то получим
где 
того же порядка, что и 
Если вычисления проводятся точно, то 
будет вещественной, но малые ошибки 
существенно будут менять 
При вычислениях с 
знаками 
будет, вообще говоря, иметь мнимые компоненты порядка 
и ими нельзя пренебрегать. При этом собственные значения полностью сохраняются, если удержать мнимые компоненты. Здесь снова полезно рассмотреть случай, когда используются точные значения 
В разложении в произведение треугольных матриц матрицы 
в (26.1) в качестве 
можно взять
где 
произвольное. Окончательная матрица 
имеет 
так что 
в точности подобна 
при всех значениях 
но она невещественная, если только 
не выбрано так, что 
вещественно. Неопределенность при точных вычислениях со сдвигом, определенным точными собственными значениями, связана с плохой определенностью 
в прак тических процессах. Это иллюстрируется в табл. 2.
Таблица 2 (см. скан)
Собственные значения 
равны 
и использовались сдвиги 
Оба элемента в первом столбце 
очень малы и имеют очень большие относительные ошибки. Матрица 
которая должна бы быть вещественной, если бы вычисления выполнялись точно, имеет мнимую часть того же порядка, что и вещественная. Тем не менее ее собственные значения совпадают с рабочей точностью с собственными значениями 
Кроме того, если, вычислив собственные векторы 
мы используем их для получения собственных векторов 
применяя вычисленные преобразования, то полученные векторы будут точными собственными векторами 
