Значение перестановок
10. Полное преобразование можно записать в виде
где 
окончательная матрица в форме Хессенберга. Покажем, что перестановки определяют такое подобное преобразование 
что ведущие элементы возникают естественным образом в нужных позициях.
Мы ограничимся доказательством для случая матриц пятого порядка. Общий случай очевидным образом следует из него (см. гл. 4, § 22). При 
уравнение (10.1) может быть записано в виде
так как каждое произведение в скобках равно 
Группируя сомножители, получаем
Матрица в середине является подобным преобразованием А о с матрицей перестановок в качестве трансформирующей. Мы можем назвать ее 
Если мы обозначим множители в первых трех скобках слева 
то (10.3) даст
Так как 
каждая 
является матрицей в точности того же вида, что 
только поддиагональные элементы в 
столбце переставлены (гл. 1, § 
Следовательно, 
получаемая из А о одновременной перестановкой строк и столбцов, может быть приведена к 
без перестановок, и множители автоматически будут по модулю ограничены единицей. Из гл. 1, § 
известно, что в матрице 
пет произведений 
Мы можем обозначить это произведение 
где 
единичная треугольная матрица, первый столбец которой равен 
так как в произведении нет сомножителя 
Элементы 
столбца матрицы 
под диагональю равны соответствующим образом переставленным элементам 
Итак, мы имеем
и если при преобразовании 
не нужны перестановки, это даст
В гл. 4, § 5 мы указывали на необходимость уравновешивания матрицы перед выполнением метода Гаусса с выбором главного элемента. Подобным же образом в нашем случае трудно выбирать ведущие элементы, если только не выполнено некоторого аналога уравновешивания. В случае проблемы собственных значений это может быть достигнуто, например, при помощи замены 
на 
диагональная матрица, выбранная так, чтобы наибольшие по модулю элементы каждой строки и каждого столбца преобразованной матрицы были одного порядка. До сих пор не проведено достаточно полного анализа этой проблемы. На 
мы испытывали разные формы уравновешивания. Нет никаких сомнений в том, что очень важно избегать работы с плохо сбалансированными матрицами. (Обсуждение этой проблемы см. Бауэр (1963) и Осборн (1960).)
