Числа обусловленности

4. Спектральное число обусловлепности к инвариантно в отношении эквивалентных унитарных преобразований. Если унитарная и

то мы имеем

Аналогично, если с — любое число, то, очевидно,

Это разумный результат, так как мы не могли ожидать изменения обусловленности системы уравнений от умножения обеих частей на константу. Из определения числа обусловленности следует, что

для любой матрицы, причем равенство достигается, если А кратна унитарной матрице.

Если являются наибольшим и наименьшим главными значениями А (гл. 1, § 53), то

тогда как, если А — симметричная, то

где являются наибольшим и наименьшим по модулю собственными значениями. Появление отношений в равенствах (4.5) и (4.6) часто приводит в недоумение, но важно понять, что числители — всего лишь нормирующие множители.

Если мы возьмем что всегда может быть достигнуто умножением системы уравнений на подходящую константу, то

и если А симметричная, то

Поэтому нормированная матрица А плохо обусловлена лишь тогда, когда велика, т. е. когда мало или, в случае симметричной матрицы, когда мало. При использовании к в качестве числа обусловленности заключаем, что нормированная матрица плохо обусловлена, если обратная имеет большие элементы, что согласуется с принятым понятием плохой обусловленности, так как это означает, что малое изменение правой части может привести к большому изменению в решении.