Теория возмущений для собственных векторов матриц, основанная на исследовании жордановой канонической формы

24. Рассматривая жорданову каноническую форму, можно изучать также и возмущения собственных векторов. Мы не будем рассматривать проблему в полной общности, а ограничимся случаем, когда А имеет линейные элементарные делители. Имеем тогда

и столбцы образуют полную систему собственных векторов матрицы А. Обозначим «соответствующие» собственные векторы матрицы через и собственные векторы через так что

Так как образуют полную систему собственных векторов, имеем

при некоторых

Для простоты рассмотрим матрицу шестого порядка § 17. Имеем

Рассматривая теперь простое собственное значение видим, что Пусть соответствующий нормирован так, что его наибольшая компонента равна единице. При достаточно малых это должна быть шестая компонента. Действительно, предположим, что это, например, четвертая, тогда, положив в соотношении

получим

Теперь, если то левая часть стремится к а правая к нулю. Следовательно, мы имеем противоречие, и поэтому при достаточно малых

Сейчас покажем, что все остальные компоненты меньше, чем при и некотором К. Действительно,

и, следовательно,

что

при

Зная, что порядка 8, можем получить исправленную границу. На самом деле (24.7) дает

и второй член справа порядка Поэтому имеем

Результат восновном совпадает с (10.2), но мы можем теперь видеть, как получать точную границу для члена с и это важно для численных примеров.