Сходимость к фиксированной диагональной матрице

5. Мы должны еще показать, что сходятся к фиксированной диагональной матрице. Предположим, что мы продолжали итерации до тех пор, пока не выполнилось неравенство

Тогда из (4.2) видим, что если собственные значения матрицы следовательно, расположены в порядке возрастания, то соответствующие значения в двух последовательностях отличаются меньше чем на (гл. 2, § 44). Поэтому расположенные в некотором порядке, лежат в интервалах длины с центрами в Так как 8 может быть произвольно малым, то мы можем локализовать собственные значения с любой нужной точностью.

Теперь покажем, что каждое действительно сходится к определенному Предположим сначала, что различны и определим 8 соотношением

Пусть к выбрано так, что (5.1) выполняется; согласно (4.6) оно выполняется для всех последующих При таком выборе интервалы с центрами

в очевидно, разделяются, и поэтому в каждом интервале находится один элемент Мы можем предположить, что занумерованы так, что каждое лежит в -интервале. Покажем, что оно должно оставаться в этом интервале на всех последующих шагах.

Предположим, что следующее вращение осуществляется в плоскости тогда элементы и будут единственными изменяющимися диагональными элементами. Следовательно, и должны быть двумя диагональными элементами из интервалов Покажем, что, например, в -интервале должно лежать только Имеем

откуда

Однако

Следовательно, для в пределах (3.6) имеем и поэтому

Это показывает, что не находится в -интервале.

6. Введение кратных собственных значений не представляет большой трудности. Определим так, чтобы (5.2) выполнялось для всех различных Мы знаем, что если есть корень кратности то именно коэффициентов из лежат в -интервале (гл. 2, § 17). Доказательство того, что и не могут перейти в другие -интервалы, остается неизменным. Итак, во всех случаях, начиная с некоторого момента, каждый диагональный элемент матриц остается в фиксированном -интервале, когда к возрастает, а длина интервала стремится к нулю, когда к