Несимметричные возмущения
37. Иногда нас будут интересовать несимметричные возмущения симметричной матрицы, и соответственно мы изучим систему собственных значений
где А симметрична, а В нет. Из (30.6) мы знаем, что каждое собственное значение
лежит по крайней мере в одном из кругов
и так как
можно взять ортогональной, то
Мы знаем, далее, что если
из этих кругов образуют связную область, изолированную от остальных, то в этой области находятся ровно
собственных значений. Эти результаты, очевидно, справедливы для всех нормальных матриц.
В случаях вещественных симметричных матриц матрица В обычно вещественна, и, следовательно, каждое комплексное собственное значение
должно встречаться в сопряженной паре. Если
круг изолирован и содержит лишь одно собственное значение. Это собственное значение поэтому должно быть вещественным. Следовательно, если все собственные значения А отделены более чем на
то случайное несимметричное возмущение в каждом элементе, по модулю меньшее
оставляет собственные значения вещественными и простыми, и, следовательно, собственные векторы также вещественны и образуют полную систему.