Метод Ланцоша
35. Еще один выбор системы 
имеет важное практическое значение. В этом случае 
определяются одновременно с 
и они получаются по 
таким же образом, как 
получаются по А. Сначала обсудим точный математический процесс. В связи с тем, что 
играют столь тесно связанные роли, нам удобно использовать обозначения, которые отразили бы это.
Следуя Ланцошу (1950), будем обозначать векторы, полученные по 
через 
(Мы хотим подчеркнуть, что звездочка не обозначает комплексного сопряжения здесь и далее в этом параграфе). Соответствующие уравнения будут
где 
выбраны так, что 
ортогонален 
ортогонален 
соответственно.
К обеим последовательностям можно приложить общий анализ, и следовательно, имеем
где 
в верхней форме Хессенберга, 
нижние треугольные. Из второго и четвертого уравнений (35.3) находим
и, следовательно, обе эти матрицы диагональные и могут быть обозначены через 
Тогда первое и третье уравнения дают
Слева в (35.5) стоит верхняя матрица Хессенберга, а справа — нижняя. Следовательно, обе они трехдиагоналъные, и
откуда ясно, что если 
ортогонален к 
то он автоматически ортогонален ко всем предыдущим с и аналогично для 
. Далее, из (35.5) имеем
так что если множители 
выбраны равными единице, то 
и 
совпадают. Так как 
трехдиагональные, проще использовать обозначения
где из (35.7)
Удобно дать точные выражения для 
Имеем
из ортогональности и (35.9). Аналогично
