QR-алгорифм
28. В соответствии с общей точкой зрения этой книги естественно попытаться заменить устойчивые элементарные преобразования в модифицированном LR-алгорифме элементарными унитарными преобразованиями. Это прямо приводит к 
-алгорифму Френсиса — Кублановской (1961). Вместо разложения в произведение треугольных здесь используется разложение в произведение унитарной матрицы 
и верхней треугольной 
Алгорифм определяется соотношениями
так что на каждой стадии теперь используем унитарное преобразование подобия. Требуемая факторизация уже была обсуждена в гл. 4, §§ 46—55, и мы показали, что если 
неособенная, то эта факторизация по существу единственна, и она безусловно единственна, если мы возьмем диагональные элементы 
вещественными и положительными. Если 
вещественная, то 
вещественные. Эта факторизация имеет то преимущество, что обращение в нуль ведущего главного минора 
не вызывает нарушения алгорифма, как это было в обычном 
-разложении.
Последовательные итерации удовлетворяют соотношениям, похожим на соотношения, выведенные для 
-преобразования. Имеем
что дает
Поэтому все 
унитарно подобны 
и если положить
то
Следовательно,
так что 
дают соответствующую факторизацию 
Эта факторизация единственна, если диагональные элементы верхней треугольной матрицы положительны, и так будет для 
если это верно для всех 
