Собственные значения и собственные векторы транспонированной матрицы

3. Собственные значения и собственные векторы транспонированной матрицы играют важную роль в общей теории. Собственные значения это по определению те значения Я, при которых система уравнений

имеет нетривиальное решение, т. е. те значения, для которых

Так как определитель матрицы равен определителю ее транспонированной, собственные значения совпадают с собственными значениями А. Собственные векторы, вообще говоря, различны. Мы будем обычно обозначать через собственный вектор соответствующий так что

Уравнение (3.3) можно записать в виде

и потому иногда называют левым собственным вектором А, соответствующим тогда как вектор такой, что

называют правым собственным вектором, соответствующим Важная роль собственных векторов транспонированной матрицы становится сразу ясной из следующего результата.

Если собственный вектор А, соответствующий собственный вектор соответствующий то

Действительно, мы можем записать (3.5) в виде

а по определению

Умножая (3.7) справа на и (3.8) слева на и вычитая, получаем

что приводит к уравнению (3.6).

Заметим, что, так как могут быть комплексными векторами, не является скалярным произведением в обычном смысле. В самом деле мы имеем

Если комплексный, может случиться, что

в то время как настоящее скалярное произведение всегда положительно для всех ненулевых х.