Метод ортогонализации

37. Сейчас рассмотрим другую технику подавления доминирующего собственного вектора (или собственных векторов). Простейший пример ее использования связан с вещественными симметричными матрицами. Предположим, что определены так, что Мы знаем, что остальные собственные векторы ортогональны к следовательно, можем подавлять компоненту по в любом векторе при помощи ортогонализации его с Это дает следующую итерационную процедуру:

где предположено, что Очевидно, стремится к субдоминирующему собственному вектору или, если А имеет второе собственное значение, равное к собственному вектору, соответствующему и ортогональному

Очевидно, что если соотношение не имеет места, то нет особой необходимости проводить ортогонализацию с на каждой итерации, хотя если А высокого порядка, работа, связанная с ортогонализацией, сравнительно мала.

Мы можем обобщить этот процесс для нахождения когда уже определены. Соответствующие итерации имеют вид

Заметим, что с точностью до ошибок округления, результаты этого метода

совпадают с результатами метода Хотеллинга (§ 19), так как из (37.1) имеем

Существует аналогичный процесс, который можно использовать, если А — несимметричная, но он требует вычисления как правого собственного вектора так и левого собственного вектора Если они нормированы так, что то можно использовать следующую итерационную процедуру:

В силу биортогональности левых и правых собственных векторов компонента по подавлена. Снова мы имеем естественное обобщение на случай, когда определены собственных векторов.