Соотношения между минимальным полиномом и каноническими формами

37. Рассмотрения § 34 часто используют для вывода канонической формы Фробениуса (см. Турнбулл и Эйткен, 1932). Мы не будем делать этого, однако для дальнейшего важно понять соотношения между минимальным полиномом матрицы и ее каноническими формами Фробениуса и Жордана.

Заметим сначала, что все подобные матрицы имеют одинаковые минимальные полиномы. Действительно, если мы имеем то

и аналогично

что

где любой полином от А. Если то и и наоборот. Следовательно, минимальный полином В делится на минимальный полином; А, и наоборот. Такие полиномы должны совпадать.

Рассмотрим матрицу Фробениуса порядка заданную уравнением (13.1). Имеем

что дает

Поэтому мы имеем

и вектор справа нулевой, только если все а равны нулю. Поэтому степень минимального полинома относительно не меньше чем

Более того,

и, следовательно, минимальный полином это характеристический полином Поэтому минимальный полином является также ее характеристическим полиномом. Пример § 35 дает иллюстрацию этого в случае

Возвращаясь к общей канонической форме Фробениуса мы можем обозначить ее

где характеристический полином каждой делится на характеристический полином последующей. Для любого полинома имеем

Если нулевая матрица, то каждая матрица должна быть нулевой. Так как будет нулевой матрицей тогда и только тогда, когда кратен характеристическому полиному так как каждый делит то это минимальный полином В. Следовательно, минимальный полином любой матрицы, подобной

Наше доказательство показывает, что минимальный полином матрицы равен ее характеристическому полиному тогда, и только тогда, когда в ее каноническую форму Фробениуса входит лишь одна матрица Фробениуса, т. е. если она полна. Это, в частности, справедливо тогда, когда все собственные значения матрицы различны.

38. Возвращаясь к жордановой канонической форме, рассмотрим сначала простую жорданову матрицу, например

Обозначая для краткости ее через С, получим

(Здесь для определенности мы взяли нижнюю жорданову каноническую матрицу.) Очевидно, что не является линейной комбинацией С и и, следовательно, степень минимального полинома больше двух. Поэтому минимальный полином — это характеристический полином Если теперь С есть жорданова каноническая форма, то она есть прямая сумма жордановых подматриц. Обозначим эти подматрицы С. где каждому может, конечно, соответствовать несколько подматриц. Как и в случае формы Фробениуса, мы видим, что полином от является прямой суммой матриц Поэтому нуль тогда и только тогда, когда все нули. Если мы обозначим через жорданову матрицу высшего порядка, соответствующую то минимальный полином для С должен быть Связь между каноническими формами Жордана и Фробениуса, установленная в § 14, подтверждает, что подобные канонические формы Жордана и Фробениуса имеют одинаковые минимальные полиномы.

Следовало бы проверить, что вектор, элементы которого на местах, соответствующих жордановым подматрицам высшего порядка для каждого равны единице, а остальные равны нулю, имеет своим минимальным полиномом минимальный полином самой жордановой формы.