Несостоятельность метода Гаусса

20. Выражения, которые мы получили для элементов основываются на предположении, что метод в действительности может быть осуществлен. Однако алгорифм не может не осуществиться, если все ведущие элементы ненулевые, а из (19.13) следует, что это верно, если все главные миноры от 1-го до порядка ненулевые. Отметим, что мы не требуем, чтобы (т. е. ) был отличен от нуля.

Предположим, что первый равный нулю ведущий элемент есть так что первые главных миноров ненулевые, тогда как равен нулю. Из (19.6), если для некоторого большего следует, что алгорифм не может осуществиться, потому что тогда равно; бесконечности. Однако если то все не определены. В этом случае можем взять для произвольные значения, и если, в частности, возьмем их равными нулю, то основной шаг оставляет неизменной.

Действительно, в] этом случае первый столбец нулевой, что можно увидеть из (19.14), если мы заметим, что

Далее, ранг первых столбцов очевидно, равен что показывает их линейную зависимость. Однако эти столбцы получены из соответствующих столбцов с помощью левого умножения на невырожденные матрицы и, следовательно, они также должны быть линейно зависимы. Поэтому — вырожденная, и решение системы существует для таких , при которых ранг равен рангу Если уравнения несовместны, то это обнаруживается в обратной подстановке на том шаге, когда мы пытаемся вычислить делением на нулевой ведущий элемент. Если они совместны, будет неопределенно.

Заметим, что несостоятельность процесса исключения, вообще говоря, не связана с вырожденностью или плохой обусловленностью матрицы. Например, если такова:

то метод Гаусса неосуществим уже на первом шаге, хотя ортогональная и поэтому хорошо обусловлена.