Умножение на последовательность приближенных матриц отражения

45. В большом числе алгорифмов мы будем иметь дело с последовательностью из матрицы отражения вектор соответствующий имеет нулевые элементы в первых позициях. Мы сначала рассмотрим левые умножения и обозначим вычисленные через

а вычисленные преобразования через Тогда имеем

следовательно, если обозначим через х, то

Результаты будут интересны для нас лишь тогда, когда существенно меньше единицы, так что, хотя множитель и растет экспоненциально, он оказывает слабое влияние на возможный предел использования этой формулы. По существу наша оценка имеет вид и она замечательна, особенно если вспомнить, что мы не принимали во внимание статистическое распределение ошибок.

Заметим, что наше исследование слабо в некотором отношении, так как, например, в (44.6) мы заменяем на каждом шаге норму матрицы, образованной измененными строками, на норму всей матрицы.

Если мы возьмем то получим оценку для ошибки в вычисленном произведении приближенной матрицы отражения. Это дает

Для подобных преобразований мы сразу же из (45.3) имеем результат с очевидной системой обозначений

Нет особых трудностей, типа рассмотренных в связи с плоскими вращениями, так как в нашем анализе не делается попытки установить специальные соотношения между частями последовательно преобразованных матриц. Очевидно, что умножения могли бы осуществляться в любом порядке, не влияя при этом на оценку.

Маловероятно, что множитель может быть улучшен для общей матрицы. Мы можем видеть это при рассмотрении следующего гипотетического примера. Предположим, что последовательность матриц получается таким путем. Нам даны точных матриц отражения начиная с вычисляем матриц Матрица получается из точным вычислением и последующим округлением ее элементов до -разрядных чисел с плавающей запятой. Если мы напишем

то очевидно, что оптимальная оценка для элементов будет

и, следовательно,

Наша оптимальная оценка для ошибки в окончательной матрице дается неравенством

и, следовательно, по существу она равна

Если А о симметричная, то мы можем повсюду сохранить симметрию у но удобно так изменить вычисление, чтобы минимизировать объем работы. Мы обсудим это в главе 5, когда опишем соответствующие преобразования.