Условия, ограничивающие достижимую точность

61. Следует подчеркнуть, что в точности подобна А, и, вычисляя с достаточной точностью, мы можем быть уверены, что собственные значения матрицы будут настолько близки к собственным значениям А, насколько мы захотим. В главе 4 мы опишем метод решения уравнений (59.4) с использованием -разрядной арифметики с фиксированной запятой, который обычно обеспечивает, чтобы была правильно округленным результатом, так что

Если мы используем такой метод, то оценка для будет непосредственно зависеть от величины Нам не нужны для нее априорные оценки, потому что вся информация сама получается после вычислений. однако поучительно рассмотреть, какие факторы определяют величину

Если была матрицей с точными нормированными собственными векторами, то строки будут задаваться отношениями Следовательно, мы могли бы ожидать, что в общем случае строка скажем будет приближением к Теперь элемент матрицы есть и так как строка то имеем

Поэтому элемент может быть представлен в виде § 58 следует, что это есть обобщенное отношение Релея, соответствующее Это значение уже вычислено и является уточненным собственным значением, полученным по методу §§ 59, 60. Отсюда следует, что основной прием, включенный в этот метод, эквивалентен определению последовательности приближенных левых собственных векторов из данной последовательности приближенных правых собственных векторов, после чего следует вычисление обобщенных отношений Релея. Организовывая работу так же, как в §§ 59, 60, получим к тому же строгие оценки ошибок.

Так как строка будет приближенно равна то строка будет приближенно равна и мы могли бы ожидать, что эти элементы должны быть большими, если малы. В свою очередь это приводит к более плохим оценкам для Итак, неудивительно, что малые будут так же ограничивать нашу достижимую точность при заданной точности вычислений, как и близкие собственные значения.

Заметим, что когда мы имеем матрицу приближенных собственных векторов, то вычисление немедленно дает нам оценки и косвенно, через определение оценку k. Однако теперь мы вынуждены считать оценку для к менее важной, так как метод, который мы дали в § 59, требует меньше работы и дает более полную информацию.