Другие интерполяционные методы

42. Аналогичные результаты можно установить для других интерполяционных методов, которые мы обсуждали. В каждом случае предельно точное значение лежит в области неопределенности или ее непосредственной окрестности, и снова есть опасность неустойчивости после достижения предельной точности. Это явление было очень заметно для метода Мюллера, который мы использовали чаще, чем какой-либо другой интерполяционный метод. Наиболее часто случалось, что если итерации продолжались после достижения значения из области неопределенности, то получалась последовательность значений в основном с той же точностью, но рано или поздно происходил большой скачок. В

экспериментах этот скачок бывал настолько большим, что последующие итерации сходились к другому собственному значению! В библиотечных программах это исключалось при помощи ограничения текущей поправки

Один вопрос заслуживает специального упоминания. Можно подумать, что метод Мюллера не может точно локализовать двойное собственное значение, даже если метод вычисления таков, что область неопределенности очень мала. При этом можно рассуждать следующим образом.

Рассмотрим, например, полином Если мы точно вычислим в любых трех точках и выведем точный полином, проходящий через них, получим

Но если мы готовы использовать только девять десятичных знаков, мы не можем получить точно эти коэффициенты. В лучшем случае мы должны округлять в девятом знаке, и это ведет к ошибке в корнях порядка Следовательно, даже если мы вычислим прямо из выражения так что вычисленные значения будут иметь малую относительную ошибку, квадратичный полином, соответствующий этим значениям, должен дать сравнительно плохие результаты. В более практических ситуациях мы вряд ли будем получать значения функции в окрестности двойного нуля с точностью, достижимой в этом специальном случае, так что обычно ситуация будет еще более неприятной.

Неправильность этих аргументов состоит в том, что вычисления не проводятся таким образом. Если мы используем метод Мюллера (§ 20), мы получаем поправку для на каждой итерации. Рассмотрим выражение разности полученное из (20.6). Имеем:

Если бы вычисления были точными, величина в квадратных скобках была бы равна нулю для любых На практике это не так, но если максимальная относительная ошибка в равна то знаменатель будет отличаться от верного значения самое большее в знаке. Поэтому вычисленная поправка будет отличаться от поправки, соответствующей точным вычислениям, приблизительно так же. Следовательно, даже если точность вычисленных значений уменьшается при приближении к собственному значению таким образом, что когда вычисленные значения имеют относительную ошибку последовательные итерации будут продолжать улучшаться на практике до тех пор, пока достигнутые значения не будут иметь относительную ошибку порядка Это в точности соответствует хорошо обусловленному двойному собственному значению в случае, когда методы вычислений дают область неопределенности диаметра порядка