Другое доказательство для LR-метода

33. Наметим переложение предыдущего метода для нового доказательства сходимости -алгорифма. Если различны, то имеем

где и разложения в произведение треугольных, для существования которых потребуем, чтобы ведущие главные миноры не были равными нулю. Следовательно,

Матрица наверняка имеет разложение в произведение треугольных при достаточно больших причем оба сомножителя стремятся к но при малых это разложение может не существовать. Это соответствует «случайному» срыву, который наступает, когда главный минор при некотором равен нулю. Это не имеет аналогии в -алгорифме. Пренебрегая этой возхможностью, видим, что в обозначениях § 4, откуда следует, что матрицы А. стремятся к верхней треугольной матрице с собственными -значениями расположенными на диагонали в правильном порядке.

Если один (или более) главный угловой минор равен нулю, то тем не менее будет существовать такая матрица перестановок, что имеет разложение в произведение треугольных. Обозначая его снова имеем

Если имеет разложение в произведение треугольных, т. е. если все ее ведущие главные миноры не равны нулю, то мы обычным образом можем показать, что стремится к треугольной матрице с диагональю

34. Рассмотрение случая кратных собственных значений (с линейными элементарными делителями) и собственных значений с равными модулями аналогично тому, которое было проделано для -алгорифма. В первом случае мы имеем сходимость, если имеет разложение в произведение треугольных, где фиксированная матрица, полученная по нижней треугольной в факторизации способом, который мы описали. Однако случай, когда симметричная, имеет особый интерес. Мы имеем и если выбрана так, что имеет разложение в произведение треугольных, то также имеет разложение, так как ведущие главные миноры и совпадают.

Если нет равных по модулю собственных значений, то требуется, чтобы именно имела бы разложение в произведение треугольных, и на первый взгляд кажется, что -процесс должен всегда сходиться. Однако мы не должны забывать, что ( может не иметь разложения в произведение треугольных при некоторых специфических значениях хотя мы и знаем, что она должна иметь такое разложение при всех достаточно больших Следовательно, для симметричных матриц, имеющих различные по модулю собственные значения, точные вычисления должны всегда давать сходимость, независимо от возможности случайного срыва на ранней стадии.

Если симметричная и положительно определенная, то мы можем показать, что сходимость должна быть, даже если есть кратные собственные значения. (Так как все собственные значения положительны, то равные по модулю собственные значения обязательно равны.) Легко показать, что в этом случае случайный срыв невозможен ни на какой стадии. Если мы напишем

то, как в § 32, мы гребуем для сходимости -алгорифма, чтобы имела разложение в произведение треугольных. Здесь получена из вычеркиванием всех элементов под диагональю, за исключением элементов в тех строках и столбцах, которые соответствуют равным диагональным элементам Мы имеем

и, следовательно, необходимо только, чтобы имела разложение в произведение треугольных, т. е. чтобы ее ведущие главные миноры не были равны нулю. Из связи используя теорему Коши, получаем что все ведущие главные миноры не меньше единицы. Результат установлен.