Итерационное улучшение приближенного решения
67. Рассуждения предыдущих параграфов показывают, что получить надежную оценку ошибки вычисленного решения, которая к тому же была бы удовлетворительна для достаточно точных решений плохо обусловленных уравнений, совсем не просто. Теперь покажем, как улучшить приближенное решение и в то же время получить надежную информацию о точности исходного и улучшенного решения.
Предположим, что мы получили приближенные треугольные матрицы
такие, что
Мы можем использовать их для получения последовательности приближенных решений
сходящихся к точному решению х системы
с помощью такого итерационного процесса:
Если бы этот процесс мог быть выполнен без ошибок округления, то мы имели бы
откуда
Поэтому достаточное условие для сходимости точного итерационного процесса таково:
и оно заведомо выполнено, если
Аналогично
и невязки также сходятся к нулю, если (67.6) выполнено.
Если А разложена на треугольные множители по методу Гаусса с выбором главного элемента по столбцу с использованием плавающей арифметики и накопления, то, вообще говоря,
и, следовательно, точный итерационный процесс будет сходиться, если
Если
то
будет получать по крайней мере по
двоичных верных знаков за итерацию,
будет уменьшаться по крайней мере в
раза. Если
значительно больше, чем 1/2, то нельзя, вообще говоря, ожидать сходимости процесса.