Итерационное улучшение приближенного решения

67. Рассуждения предыдущих параграфов показывают, что получить надежную оценку ошибки вычисленного решения, которая к тому же была бы удовлетворительна для достаточно точных решений плохо обусловленных уравнений, совсем не просто. Теперь покажем, как улучшить приближенное решение и в то же время получить надежную информацию о точности исходного и улучшенного решения.

Предположим, что мы получили приближенные треугольные матрицы такие, что

Мы можем использовать их для получения последовательности приближенных решений сходящихся к точному решению х системы с помощью такого итерационного процесса:

Если бы этот процесс мог быть выполнен без ошибок округления, то мы имели бы

откуда

Поэтому достаточное условие для сходимости точного итерационного процесса таково:

и оно заведомо выполнено, если

Аналогично

и невязки также сходятся к нулю, если (67.6) выполнено.

Если А разложена на треугольные множители по методу Гаусса с выбором главного элемента по столбцу с использованием плавающей арифметики и накопления, то, вообще говоря,

и, следовательно, точный итерационный процесс будет сходиться, если

Если то будет получать по крайней мере по двоичных верных знаков за итерацию, будет уменьшаться по крайней мере в раза. Если значительно больше, чем 1/2, то нельзя, вообще говоря, ожидать сходимости процесса.