Неустойчивость явного выражения для собственного вектора

49. Пусть к очень близко к собственному значению, но не точно равно ему, и пусть точные компоненты, полученные из соотношений (48.4), соответствующих этому значению k. Тогда по определению удовлетворяют уравнениям (48.1) и (48.2), Компоненты не могут удовлетворять уравнению (48.3) точно, потому что в противном случае был бы ненулевым вектором, удовлетворяющим уравнению и следовательно, к должно быть точным собственным значением, вопреки нашему предположению. Поэтому имеем

и вектор точно удовлетворяет уравнению

где есть столбец единичной матрицы. Так как нас не интересует произвольный ненулевой множитель, то можно считать, что есть решение уравнения

Матрица по предположению, невырожденная и, следовательно,

Теперь, для того чтобы подчеркнуть, что явление, которое мы должны продемонстрировать, не связано с плохой обусловленностью проблемы собственных векторов для С, предположим, что С имеет хорошо разделенные собственные значения, так что в силу симметрии С собственные векторы не чувствительны к возмущениям в ее элементах. Предположим, что собственные значения упорядочены так, что

и что к очень близко к . Следовательно, «мало», но «не малы».

Пустые, ортонормальная система собственных векторов С. Тогда мы можем представить в виде

Поэтому уравнение (49.4) дает

Если вектор х должен быть хорошим приближением к то важно, чтобы было велико по сравнению с . Мы знаем, что очень мало, но если также очень мало, то х будет далек от Предположим, например, что мы работаем с десятью десятичными знаками в Если оказалось, что равно то х будет почти ортогонален вектору

Читатель может почувствовать, что это доказательство довольно экстравагантно и что нет причин ожидать, что вектор будет иметь столь малую компоненту в направлении какого-либо собственного вектора. Утверждаем, что это явление достаточно общее, и основная цель следующих нескольких параграфов заключается в том, чтобы показать, насколько легко оно может произойти.

50. Из уравнения (49.6) и ортогональности имеем

Поэтому, если последняя компонента нормированного вектора очень мала, то собственный вектор, полученный из явных выражений (48.4), соответствующих очень хорошему приближению X к не будет хорошим приближением к

До рассмотрения вопроса о том, из-за каких факторов компонента может стать патологически малой, вернемся к системам уравнений (48.1), (48.2), (48.3). Вектор х, определенный соотношением (48.4), есть точное решение первых уравнений системы

Так как X не является точным собственным значением, то лишь нулевой вектор будет решением полной системы. Вместо того чтобы рассматривать решения первых из этих уравнений, рассмотрим систему, полученную из данной исключением уравнения. Мы снова будем иметь ненулевое решение, которое удовлетворяет всем уравнениям (50.2), за исключением Следовательно, этот вектор х есть точное решение системы

Точно таким же доказательством, какое было дано выше, мы устанавливаем, что х будет хорошим приближением к при условии, что компонента не мала. Итак, если наибольшая компонента есть то при вычислении следует исключить уравнение. Этот результат поучительный, но практически не очень полезен, так как мы не знаем априори положение наибольшей компоненты . В действительности есть именно тот вектор, который мы пытаемся вычислить!

Решение, соответствующее исключению уравнения, может быть получено следующим образом. Берем и вычисляем используя уравнение (48.1) и уравнения (48.2) до Затем берем и вычисляем используя уравнение (48.3) и уравнения (48.2) для Комбинируем эти два частичных вектора, выбирая к так, чтобы

и берем

Если этот процесс выполняется без ошибок округления, то очевидно, что мы имеем точное решение (50.3) для некоторого ненулевого