Значение перестановок

22. Описание модифицированного процесса становится более простым, если мы предполагаем фактическое выполнение перестановок строк, так как тогда окончательная матрица будет точно верхней треугольной и все промежуточные матрицы — вида (15.6). На некоторых вычислительных машинах может быть более удобно оставлять уравнения на своих прежних местах и сохранять информацию о номерах ведущих строк. Тогда окончательная матрица такая же, как, например, для случая

где последовательными ведущими строками были третья, вторая, четвертая, первая и пятая. Эта матрица треугольная с точностью до перестановки строк.

Если мы действительно делаем перестановки, то

Отсюда видно, что в действительности выбор главного элемента определяет такую перестановку строк при которой метод Гаусса может быть выполнен и без выбора главного элемента, причем все множители будут ограничены по модулю единицей.

Для того чтобы избежать усложнения доказательства, мы в качестве иллюстрации рассмотрим случай Из (22.2) следует, что

так как произведения в скобках равны единичной матрице. Перегруппировывая члены, имеем

где, согласно гл. 1, получаются из лишь перестановкой поддиагональных элементов, а из перестановкой строк. Предположим теперь, что мы должны выполнить метод Гаусса для без выбора главного элемента. Тогда мы получили бы

где верхняя треугольная, элементарные матрицы обычного типа. Уравнения (22.4) и (22.5) дают два треугольных разложения (с нижними треугольными матрицами, имеющими единичные диагональные элементы) и, следовательно, они совпадают.

Это означает, что и поэтому метод Гаусса для без перестановок приводит к множителям, ограниченным по модулю единицей.