Асимптотическая скорость сходимости
21. Рассмотрим предельную скорость сходимости в окрестности корня 
Если положить
то
где через 
обозначены производные при 
Мы можем записать интерполяционный полином в терминах 
Полином порядка 
проходящий через точки 
имеет вид левой части уравнения
Подставляя 
из (21.2) и раскладывая по первой строке, получим
где в коэффициент при каждом 
включен только доминирующий член. Если 
достаточно малы, требуемое решение 
таково, что
Вид этого решения оправдывает а posteriori то, что в (21.4) опущены все члены, кроме доминирующих.
Для оценки асимптотического поведения представим (21.5) в виде
т. е.
что
Из теории линейных разностных уравнений известно, что решением (21.8) будет
где это корни уравнения
Это уравнение имеет один корень между 1 и 2, причем
Другие 
корней удовлетворяют уравнению 
и все они лежат внутри единичного круга, что можно увидеть, применив теорему Руше к функциям
Следовательно,
что
При 
имеем
а при 
Асимптотическая скорость сходимости достаточно хороша в обоих случаях, но заметим, что большие значения К замедляют наступление предельной скорости сходимости. Так как меньше двух при всех значениях 
то, по-видимому, мало доводов за использование интерполяционных полиномов высокой степени, по крайней мере при рассмотрении асимптотической скорости сходимости.
