Аналог ступенчатых итераций, использующий ортогонализацию

38. В методе ступенчатых итераций мы работаем одновременно с несколькими векторами, и их линейная независимости поддерживается приведением их на каждом шаге к стандартной трапециевидной форме. Существует аналогичный метод, в котором линейная независимость векторов поддерживается при помощи процесса ортогонализации Шмидта (гл. 4, § 54) или его аналога. Рассмотрим сначала случай, когда мы одновременно итерируем векторов. Обозначим матрицу, образованную этими векторами на каждом этапе, через Тогда процесс имеет вид

где столбцы ортогональны, верхняя треугольная. Следовательно,

и если то имеем

Соотношение (38.3) означает, что суть матрицыг получаемые при ортогональном приведении к треугольному виду. Сравнивая с -алгорифмом (гл. 8, § 28), мы видим, что равна произведению первых ортогональных матриц, определенных при помощи -алгорифма. Следовательно, например, если все различны, то последовательность стремится в основном к пределу, который является матрицей, полученной при треугольной ортогонализации матрицы из собственных векторов Диагональные элементы стремятся к . В более общем случае, когда некоторые собственные значения имеют равные модули, соответствующие столбцы могут не стремиться к пределу, но они обязательно будут порождать соответствующее подпространство. Так же, как и в § 34, мы предупреждаем читателя, что формальная эквивалентность метода этого параграфа с -алгорифмом не означает, что он ведет к столь же ценной практической процедуре.

Инвариантность верхней формы Хессенберга и автоматическим и устойчивый метод исчерпывания существенны для успеха -алгорифма, и мы не имеем никакого сравнимого приема в схеме ортогонализации (ср. с соответствующим обсуждением ступенчатых итераций в § 34).

39. Мы можем использовать для ортогонального приведения к треугольной матрице процесс Хаусхолдера (гл. 4, § 46). В этом случае получаем вместо транспонированную в виде произведения из матриц отражения. Процесс будет иметь

Если все различны, диагональные элементы сходятся, и на этом этапе можем сосчитать текущую по нам не надо вычислять на более ранних этапах. Когда некоторые из равны, соответствующие элементы могут не сходиться, и в этом случае невозможно различить, когда «предел» уже достигнут в том смысле, что группы столбцов порождают соответствующие подпространства.

Мы описали случай, когда имеет полное число столбцов, для того чтобы подчеркнуть связь с -алгорифмом. На самом же деле ничто не мешает нам работать с меньшим числом столбцов. Если состоит из столбцов, то процесс все равно описывается равенствами (37.1), но теперь это верхние треугольные матрицы порядка. Интересен случай, когда и доминирующие собственные значения образуют комплексно сопряженную пару Столбцы тогда состоят из двух ортогональных векторов, порождающих соответствующее инвариантное подпространство. Этот метод может быть применен для точного определения и инвариантного подпространства даже в случае, когда мало. На каждом этапе имеем

где матрица второго порядка. Из ортогональности столбцов имеем

Собственные значения стремятся к и если мало, но собственные значения хорошо обусловлены, то будут порядка так что будут точно определены.