ГЛАВА 6. ПРИВЕДЕНИЕ ОБЩИХ МАТРИЦ К МАТРИЦАМ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
Введение
1. Рассмотрим теперь более трудную проблему вычисления системы собственных значений и собственных векторов матрицы общего вида 
Мы не можем теперь ожидать априорных гарантий точности результатов, но мы можем ожидать, что существуют устойчивые преобразования, которые дают матрицы, в точности подобные 
и что можно установить удовлетворительные границы для 
В первой половине этой главы будем рассматривать приведение 
к форме Хессенберга (гл. 4, § 33) при помощи элементарных преобразований подобия. Несмотря на то, что, вообще говоря, матрицы Хессенберга имеют 
ненулевых элементов, т. е. в них аннулировано только около половины элементов, приведение матрицы к форме Хессенберга вызывает значительное упрощение в решении проблемы собственных значений. Во всех методах, которые мы будем обсуждать, имеются две модификации, приводящие к верхней или нижней матрицам Хессенберга. С точки зрения дальнейших приложений несколько удобнее иметь матрицы в верхней форме, и потому будут описаны методы, соответствующие такой форме.
Это имеет одно неприятное следствие. Для симметричных матриц принято описывать методы в терминах элементов верхнего треугольника и, следовательно, получать нули в этом верхнем треугольнике, и мы следовали этому в главе 5. (Конечно, из-за симметрии нули одновременно получались и в нижнем треугольнике.) Наше решение поэтому делает сравнение методов для симметричных матриц с соответствующими методами для несимметричных матриц значительно менее простым, чем это могло бы быть, хотя модификации, необходимые для получения матриц в нижней форме Хессенберга, тривиальны.
Во второй половине главы мы рассмотрим дальнейшее приведение матриц Хессенберга к трехдиагональной форме и форме Фробениуса. Решение йроблемы собственных значений для матриц этих специальных форм рассматривается в главе 7.
