где 
это вектор с компонентами 
Соответственно каждой квадратичной форме можно сопоставить билинейную форму 
Некоторые типы квадратичных форм имеют практический интерес. Квадратичная форма с матрицей А называется:
Матрица положительно определенной квадратичной формы называется положительно определенной матрицей.
Необходимым и достаточным условием положительной определенности 
является положительность всех собственных значений А. Действительно, мы знаем, что существует ортогональная матрица 
такая, что
Следовательно, если
то
Необходимым и достаточным условием положительности 
для всех ненулевых z является положительность всех Из (26.4) мы видим, что ненулевым z соответствуют ненулевые х, и наоборот; следовательно, результат установлен. Так как определитель матрицы равен произведению ее собственных значений, определитель положительно определенной матрицы должен быть положительным.
Из уравнений (26.4) и (26.5) мы видим, что проблема нахождения ортогональной матрицы 
следовательно, собственных векторов А совпадает с проблемой нахождения главных осей поверхности второго порядка
и что 
обратны квадратам главных осей. Кратные собственные значения связываются с неопределенностью главных осей. В качестве типичного примера мы можем взять трехмерный эллипсоид с двумя равными главными осями. Одно из главных сечений в этом случае круг, и мы можем взять любые два его перпендикулярных диаметра в качестве главных осей.
от 
переменных 
