Примеры несостоятельности и неединственности разложения
38. Пример матрицы, для которой треугольное разложение невозможно, таков:
Элементы 
, полученные до того шага, когда дальнейшее разложение стало невозможно, такие:
Мы видим, что 
и уравнение, определяющее 
есть
Заметим, что А — невырожденная. В действительности она хорошо обусловлена.
С другой стороны, существует бесконечное число разложений матририцы А у
Например,
Опять 
но когда мы приходим к определению 
то
и, следовательно, 
произвольно. Если 
выбрано, то 
определяется однозначно. Эквивалентная треугольная система уравнений, соответствующая произвольной правой части, есть
Следовательно, если 
не равно 
то решение не существует. Заметим, что если 
должна иметь единичную диагональ, то необходимым условием неопределенности является равенство нулю по крайней мере одного 
Если тем не менее треугольное разложение существует, то А должна быть вырожденной, так как 
равен нулю. Мы знаем, что решение существует тогда и только тогда, когда
В том случае, когда единственный нулевой элемент есть 
разложение существует, неопределенности нет, но решение возможно лишь при 
