Вырожденные случаи

55. Если один из поддиагональных элементов равен нулю, то матрицу можно записать в виде

где в форме Хессенберга. Собственные значения совпадают с собственными значениями Собственные векторы, соответствующие собственным значениям, принадлежащим даются соответствующими собственными векторами дополненными нулями в последних позициях, и следовательно, для их вычисления требуется меньше работы. Собственный вектор, соответствующий собственному значению не имеет, вообще говоря, специфической формы, и наиболее экономным способом его получения будет обычный метод обратной итерации.

Если имеет собственное значение кратности линейно независимыми собственными векторами, то она должна иметь по крайней мере нулевых поддиагональных элементов (см. гл. 7, § 41). Тем не менее может иметь собственные значения, совпадающие с рабочей точностью, и при этом каждый из поддиагональных элементов может и не быть мал. Линейно независимые собственные векторы могут быть получены в этом случае выполнением обратных итераций со слегка различными величинами и рассуждения будут те же, что и в § 59 гл. 5.

Если имеет нелинейный элементарный делитель то векторы, полученные при использовании различных значений близких к будут сами близки. Обратные итерации не показывают характерную «нестабильность», связанную с повторяющимся линейным делителем, которая позволяла нам получать линейно независимые собственные векторы. Обычно, если имеет квадратичный делитель, вычисленные собственные значения не равны, а отличаются на величину порядка (см. гл. 2, § 23). Собственные векторы определенные обратными итерациями с использованием этих двух различных собственных значений, отличаются на величины порядка дает корневой вектор высоты два, но, естественно, он имеет в лучшем случае только правильных знаков (см. гл. 3, § 63).