Симметричные возмущения

38. Большинство из наиболее точных способов вычисления собственных значений вещественных симметричных матриц основано на использовании ортогональных преобразований подобия. Точная симметрия сохраняется в последовательных преобразованных матрицах тем, что вычисляется только верхняя треугольная часть каждой матрицы. Элементы под диагональю полагают равными соответствующим элементам над диагональю. По этой причине мы более подробно рассмотрим симметричные возмущения симметричных матриц.

Если возмущение симметрично, возмущенная матрица обязательно имеет вещественную систему собственных значений, и это же верно для возмущающей матрицы. Естественно искать соотношение между собственными значениями исходной, возмущающей и возмущенной матриц. Большинство результатов, полученных ранее, требовало малости возмущения. Увидим, с другой стороны, что многие результаты, которые мы докажем, свободны от этого ограничения, и потому, опуская запишем

где вещественны и симметричны.