Вычисление общей обратной матрицы

64. Веря последовательно равными получим столбцов матрицы, обратной к А. Для столбца имеем

где мы написали для того, чтобы подчеркнуть, что эквивалентные возмущения различны для каждой правой части, хотя они равномерно ограничены сверху оценкой (59.8). Записывая

и используя равномерные оценки для находим, что

Если меньше единицы, то (64.2) означает, что ни А, ни X невырожденные. В этом случае имеем

откуда

и

Теперь из (64.5)

Из этих результатов заключаем следующее. Если мы вычисляем обратную матрицу в плавающей арифметике с накоплением, используя треугольное разложение с перестановками, и если ни один из элементов не превосходит единицы, то при условии, что вычисленная X такова, что меньше единицы, соотношения (64.6) и (64.7) выполняются. Если, в частности, эта величина мала, то (64.5) показывает, что вычисленная X имеет малую относительную ошибку. И наоборот, любая нормированная матрица, для которой должна дать вычисленную X, удовлетворяющую (64.7) при условии, что не было роста ведущих элементов.

К сожалению, должно быть сделано замечание относительно роста ведущих элементов, но так как он будет редко, этот факт на практике не очень существен.

Для других, менее точных способов вычислений мы имеем соответствующие оценки, которые, конечно, несколько слабее, но вследствие статистического распределения ошибок, оценки, которые мы только что дали, на практике не превышаются.