Подчиненные матричные нормы

53. Каждой матрице А можно сопоставить неотрицательную величину соответствующую любой векторной норме. Из соотношения видим, что это эквивалентно Эта величина, очевидно, является функцией матрицы А, и легко проверить, что она удовлетворяет всем условиям, которым должна удовлетворять матричная норма. Она называется матричной нормой, подчиненной векторной норме. Так как

мы имеем

для всех отличных от нуля х, и соотношение, очевидно, справедливо, когда Матричные и векторные нормы, для которых справедливо (53.2) для всех А и х, называются согласованными. Векторная норма и подчиненная ей матричная норма поэтому всегда согласованы. Для всех подчиненных норм имеем по определению Далее, всегда существует ненулевой вектор такой, что

Это следует из замкнутости области и того, что в силу (52.1) векторная норма является непрерывной функцией компонент своего аргумента. Поэтому вместо можем писать

Матричная норма, подчиненная обозначается Эти нормы удовлетворяют соотношениям

(наибольшее собственное значение

Первые два результата тривиальны, и ясно, что Третий можно проверить следующим образом.

Матрица эрмитова, и ее собственные значения не отрицательны, так как Обозначим ее собственные значения через По определению

Далее, если ортонормированная система собственных векторов то можно написать

Следовательно,

Величина достигается при Неотрицательные величины называются сингулярными (главными) значениями А. Норма часто называется спектральной нормой.