Анализ ошибок разложения Холецкого в арифметике с фиксированной запятой

44. Теперь мы ограничимся случаем положительно определенной матрицы и покажем, что если

то вычисленное разложение Холецкого в арифметике с фиксированной запятой с накоплением скалярных произведений дает

удовлетворяющую соотношениям

Доказательство по индукции. Предположим, что мы вычислили элементы до и эти элементы соответствуют элементам точного разложения где симметричная и в позициях

имеет элементы, удовлетворяющие соотношениям (44.2) и (44.3); в других местах матрица нулевая. Тогда имеем

Следовательно, положительно определенная и имеет элементы, ограниченные по модулю единицей. Поэтому она имеет точное треугольное разложение, у которого мы уже получили элементы до Теперь рассмотрим выражение

где вычисленные элементы. Это есть элемент треугольного разложения матрицы следовательно, он ограничен по модулю единицей. По определению есть правильно округленное значение х и поэтому не может превзойти по модулю единицу. Тогда для вычисленного имеем

Это означает, что

где

и мы установили нужные неравенства для элементов до Чтобы закончить индуктивное доказательство, нужно рассмотреть вычисление диагонального элемента Если

то у есть элемент точного треугольного разложения и поэтому лежит в пределах от до 1. Следовательно,

где мы предполагаем, что программа вычисления квадратного корня всегда дает значение, не большее единицы. Следовательно,

или

откуда

Итак, результат полностью установлен.

Аналогичный результат может быть установлен и в том случае, если используется

Пренебрегая членами порядка можно получить такие оценки: