Преимущество унитарных преобразований

17. Теперь, несмотря на большую сложность определения по сравнению с определением в § 15, уравнения от (16.5) до (16.11) несут гораздо больше информации, чем соответствующие уравнения § 15. Все матрицы точно унитарны, и, следовательно, мы имеем

учитывая инвариантность -нормы к унитарным преобразованиям. Аналогично, так как имеем

Уравнение (16.7) показывает, что точное унитарное подобное преобразование тогда как (16.9) показывает, что точное унитарное подобное преобразование матрицы

На практике мы будем использовать или плоские вращения, или матрицы отражения и найдем, что во всех случаях сможем получить достаточно удовлетворительные оценки для нормы матрицы определенной (16.1). Если мы сможем доказать, например, что

то (16.4) дает

Из

Здесь есть матрица ошибок, полученных при попытке вычислить и так как почти унитарная матрица, общий порядок величины элементов будет почти таким же, как у элементов Поэтому на практике обычно нетрудно найти оценку для вида

где некоторая простая функция от Из (17.4), (17.5), (17.6) имеем

и

Отсюда мы можем получить априорные оценки для нормы эквивалентного возмущения в виде

где

Анализ любого алгорифма, основанного на унитарных преобразованиях, сводится теперь к проблеме нахождения значений для