Исчерпывание для трехдиагональной матрицы

51. Процесс исчерпывания для трехдиагональной матрицы был выведен как специальный случай процесса для верхних матриц Хессенберга, но этот процесс имеет тесную связь с процессом если ненулевые элементы вводить в первом столбце матрицы после исчерпывания вместо последнего. Проиллюстрируем это для матрицы пятого порядка. Предположим, что наша исходная трехдиагональная матрица имеет вид

Если собственное значение определим соотношениями

Пусть матрица вида

Тогда

причем элемент равен нулю, так как Следовательно, мы имеем

Таким образом, после исчерпывания матрица порядка в нижнем правом углу имеет дополнительные элементы в первом столбце.

Обозначим через главные ведущие миноры порядка Имеем

откуда видно, что добавленный столбец элементов вряд ли усложняет рекуррентные соотношения.

Для выполнения второго исчерпывания, после того как определено собственное значение матрицы умножаем справа на матрицу вида

так что окончательная матрица порядка имеет вид

Следовательно, рекуррентные соотношения, связывающие главные миноры матриц после исчерпывания, не становятся сложнее соотношений (51.6).