Патологически близкие собственные значения

57. Если интервалы, в которых лежат отношения Релея, не разделены, то положение значительно более неясно, и без дальнейшего исследования мы не можем быть уверены, что все собственные значения согласуются с интервалами. Мы можем проиллюстрировать трудность рассмотрением предельного случая. Предположим, что собственная проблема матрицы четвертого порядка с хорошо разделенными собственными значениями решена, используя четыре разных алгорифма. Мы обозначим приближения к собственному значению и собственному вектору полученные по четырем методам, через Хотя все эти приближения к одному и тому же собственному значению и собственному вектору, ониг вообще говоря, будут неодинаковы; в действительности обычно строго линейно независимы. Если даны эти четыре пары и мы получим четыре перекрывающихся интервала, и (предполагая, что алгорифмы были устойчивые) тем не менее в объединении этих интервалов будет лишь одно собственное значение. Очевидно, что нам нужно будет много больше, чем простая математическая независимость векторов, если мы хотим сделать полезные и строгие выводы.

Следующие соображения проливают свет на эту проблему. Предположим, что ортогональные нормированные векторы таковы, что

Существует последовательность нормированных векторов таких, что матрица У, имеющая своими столбцами, ортогональна. Рассмотрим теперь матрицу В, определенную равенством

Очевидно, что В — симметричная, и из (57.1) имеем

Учитывая симметрию, можем написать

где X — симметричная и

Далее, В имеет собственные значения матрицы А и если собственные значения матрицы X, то по теореме

Виландта — Гофмана (гл. 2, § 48) для некоторой нумерации имеем

Итак, несомненно существует собственных зпачений в объединении интервалов Заметим, что не обязательно должны быть отношениями Релея. Например, рассмотрим диагональную матрицу порядка с элементами

Если мы возьмем

то имеем

и, следовательно, какое бы ни было распределение знаков, Хорошо известно, что если есть степень числа 2, то существует ортогональных векторов типа (57.8). Все соответствующие интервалы имеют один и тот же центр а и очевидно, что наименьший интервал, который будет покрывать все собственных значений, есть Отношение Релея, соответствующее каждому из и, равно так что мы не получим значительно лучшего результата. Предположим теперь, что даны

где малые величины и

Мы можем написать

где единичный вектор в подпространстве, натянутом на ортогональный к Умножая (57.10) на и вычитая из (57.11), получаем

откуда

где

При условии, что не мал, (57.14) и (57.16) теперь показывают, что ортогональные векторы имеют малые невязки, и мы можем использовать наш предыдущий результат. Если уменьшается, этот результат постепенно ослабевает.