Обратная итерация

53. Рассмотрим теперь решение неоднородной системы уравнений

где будем считать на время произвольным нормированным вектором. Если представлено в виде

то точное решение (53.1) таково:

Предполагая на некоторое время, что мы можем решать такие системы уравнений, как (53.1), без ошибок округления, мы видим, что если К близко к но не близко к другим то разложение х содержит значительно большую часть вектора чем разложение Для того чтобы х было хорошим приближением к необходимо, чтобы не было малым. Если теперь мы решаем систему уравнений

без ошибок округления, то получим

и разложение у содержит еще большую часть вектора чем разложение х.

Очевидно, что мы могли бы бесконечно повторять этот процесс, получая тем самым такие векторы, которые были бы все более и более близки к но при условии, что у нас есть некоторый метод выбора 6, не приводящий к патологической ортогональности вектору уже второй вектор у обычно будет очень хорошим приближением к Предположим, например, что

В этом случае мы могли бы с уверенностью сказать, что разложение вектора содержит малую часть вектора и что не очень хорошо отделено от других собственных значений. Все же мы имеем

и

Итак, даже в таком неблагоприятном случае нормированный вектор у почти точно совпадает с