Уравнения второго порядка специального вида

31. Уравнение малых колебаний механической системы около положения устойчивого равновесия под воздействием консервативных сил имеет вид

где симметричны и положительно определены. Если мы предположим, что решения имеют вид то мы должны иметь

Положив получим

Мы сейчас покажем, что если симметричны и В — положительно определенная, то все корни вещественны.

Так как В — положительно определенная, то существует ортогональная матрица В такая, что

где собственные значения В, обязательно положительные. Можно написать

Тогда мы имеем

и, следовательно,

где

Так как нули совпадают с нулями Последние же суть собственные значения симметричной матрицы и поэтому вещественны.

Матрица имеет полный набор собственных векторов которые можно выбрать ортогональными. Поэтому имеем

что

Следовательно, это «собственный вектор», соответствующий в обобщенной задаче на собственные значения, определяемой уравнением (31.3). Заметим, что так как ортогональны, вещественная и неособенная, образуют полную систему вещественных собственных векторов уравнения (31.3). Далее имеем

что показывает, что векторы ортогональны относительно В.

Если А — тоже положительно определенная, то положительны. Действительно, мы имеем

причем положительны.