Уравнения второго порядка специального вида
31. Уравнение малых колебаний механической системы около положения устойчивого равновесия под воздействием консервативных сил имеет вид
где
симметричны и положительно определены. Если мы предположим, что решения имеют вид
то мы должны иметь
Положив
получим
Мы сейчас покажем, что если
симметричны и В — положительно определенная, то все корни
вещественны.
Так как В — положительно определенная, то существует ортогональная матрица В такая, что
где собственные значения В, обязательно положительные. Можно написать
Тогда мы имеем
и, следовательно,
где
Так как
нули
совпадают с нулями
Последние же суть собственные значения
симметричной матрицы
и поэтому вещественны.
Матрица
имеет полный набор собственных векторов
которые можно выбрать ортогональными. Поэтому имеем
что
Следовательно,
это «собственный вектор», соответствующий
в обобщенной задаче на собственные значения, определяемой уравнением (31.3). Заметим, что так как
ортогональны,
вещественная и неособенная,
образуют полную систему вещественных собственных векторов уравнения (31.3). Далее имеем
что показывает, что векторы
ортогональны относительно В.
Если А — тоже положительно определенная, то
положительны. Действительно, мы имеем
причем
положительны.