Собственные значения суммы двух симметричных матриц

44. Минимаксную характеристику собственных значений можно использовать для установления соотношения между собственными значениями симметричных матриц таких, что

Обозначим собственные значения через соответствено, располагая все три множества в невозрастающем порядке. По теореме минимакса имеем

Следовательно, при некотором выборе для всех соответствующих х имеем

Если ортогональная матрица такая, что

и если мы возьмем то

При таком выборе первые компонент у равны нулю, и из (44.3) имеем

Однако

в то время как

для всех х. Следовательно, выражение в скобках не больше чем при всех х, соответствующих этому выбору Поэтому, его максимум не больше чем и мы имеем

Так как и собственные значения в невозрастающем порядке равны — приложение только что доказанного результата дает

Соотношения (44.9) и (44.10) показывают, что если В добавлена к А, все собственные значения меняются на величину, лежащую между наименьшим и наибольшим собственными значениями В. Это находится в согласии с результатом, доказанным в § 41 аналитическими методами для матриц В ранга единица. Заметим, что мы не предполагали здесь малости возмущения и что результаты не зависят от кратностей собственных значений