Треугольная каноническая форма

21. Приведение к жордановой канонической форме требует полной информации о всех собственных значениях и собственных векторах. Эта форма является частным случаем треугольной канонической формы. Последняя значительно более проста как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения вычислительной практики. Ее важность вытекает из следующей теоремы и из теоремы § 25.

Каждая матрица подобна треугольной матрице, т. е. матрице, у которой все элементы над диагональю равны нулю. Мы будем называть такие

матрицы нижними треугольными матрицами. Как и в случае жордановой формы, существует также преобразование, приводящее к матрице с нулями под диагональю (верхней треугольной). Доказательство, сравнительно элементарное, мы отложим до § 42, где будут введены соответствующие матрицы преобразования.

Очевидно, что диагональные элементы треугольной матрицы суть собственные значения с соответствующими кратностями подобной ей исходной матрицы. Действительно, если это элементы то характеристический полином треугольной матрицы равен а мы видели, что характеристический полином инвариантен при преобразованиях подобия.