Ограничения унитарных преобразований

19. Рассуждения предыдущего параграфа могут создать впечатление, что алгорифм, основанный на унитарных преобразованиях, обязательно устойчив, но это далеко не так. Мы обсудили лишь те методы, в которых каждая матрица получается одним элементарным преобразованием и предположили, что дополнительные нулевые элементы (если они есть), которые были введены в появились в результате этого одного преобразования. Мы показали, что устойчивость гарантирована при условии, что можно доказать на практике близость Имелось лишь два источника ошибок:

(i) ошибки, сделанные при попытке вычислить элементы из

(ii) ошибки, соответствующие включению некоторых новых нулевых Элементов в

На практике всегда легко показать, что первая совокупность ошибок не вызывает затруднений. Что же касается второй совокупности, то здесь ситуация еще более благоприятная. Наш анализ был основан на отыскании малой оценки для

Для определенных нулевых элементов соответствующие элементы точно равны нулю по определению Однако этот практический путь проведения анализа не всегда дает наиболее точные оценки. Если мы можем доказать, что близка к некоторой точно унитарной матрице можем получить хорошую оценку для кроме того, можем показать, что элементы в позициях, соответствующих нулевым элементам малы, то мы можем выполнить подобный анализ, как в §§ 16, 17.

Однако существует несколько алгорифмов, основанных на элементарных унитарных преобразованиях, в которых нужные нулевые элементы

получаются лишь в окончательном произведении нескольких последовательных преобразований; появление этих нулей обычно зависит неявным образом от определения матриц содержащихся в алгорифме.

Предположим, что, начиная с Аэтим нулям следовало бы впервые появиться в матрице после преобразований. Если бы мы смогли доказать, что произведение близко к то метод был бы устойчив. Однако если мы даже сможем показать, что каждая близка к соответствующей (что мы обычно можем), то это еще не очень ценно, так как может быть сколь угодно далека от Как мы заключили в § 14, матрицы могут существенно отличаться друг от друга, и основным моментом нашего анализа было то, что не делается никакого сравнения между или

Если успех алгорифма решающим образом зависит от нашей возможности устанавливать нули в элементах соответствующих нулевым элементам в то он может быть совсем бесполезен для практических целей. Мы дадим примеры катастрофической несостоятельности таких алгорифмов.