Евклидова и спектральная нормы

54. Существует вторая важная норма, согласованная с векторной нормой Это так называемая евклидова или шуровская норма, которую мы обозначим По определению

Очевидно, что она не может быть подчинена никакой векторной нормег так как

Евклидова норма весьма часто используется для практических целей, так как ее легко можно сосчитать. Кроме того, имеем по определению

Нормы удовлетворяют таким же соотношениям, но, вообще говоря,

В самом деле, так как равна следу который равен имеем

где обе границы могут быть достигнуты Следовательно, мы имеем

Неудобством евклидовой нормы является то, что

в то время как

Как евклидова матричная норма, так и вторая векторная и вторая матричная нормы имеют важные инвариантные свойства при унитарных преобразованиях. Для произвольных х и А и унитарной имеем

так как

Аналогично из определения следует, что

Наконец,

ибо евклидова длина каждого столбца равна длине соответствующего столбца А.

Предположим, что — нормальная матрица. Тогда

В дальнейшем под нормой будет подразумеваться одна из специальных норм, которые мы сейчас определили, и мы не будем сколько-нибудь обобщать это понятие. Однако даже при таком узком определении оказывается удобным иметь единообразную трактовку норм, и удивительно, как много выигрывается от легкости их употребления.