Почти нормальные матрицы

64. В гл. 2, § 26, мы показали, что анализ ошибок, основанный на числах обусловленности, неудовлетворителен для матриц, которые, например, подобны матрице А, где

Эта матрица имеет нелинейный делитель, но собственные значения сравнительно нечувствительны. Естественно спросить, ожидаем ли мы каких-либо особых трудностей, если попытаемся решить собственную проблему для такой матрицы. В действительности такая матрица не вызывает особых трудностей. Преобразованная матрица будет подобна вообще говоря, не будет иметь нелинейного делителя, а будет иметь два собственных значения и два вполне независимых соответствующих собственных вектора. Конечно, будет чрезвычайно трудно доказать с помощью вычислений, включающих ошибки округления, что исходная матрица имеет нелинейный делитель. Однако следует понимать, что действительно невозможно установить таким методом, что матрица имеет кратное собственное значение, поскольку делаются ошибки округления, хотя часто, когда кратные собственные значения будут целыми числами или корнями многочленов типа где целые, это, очевидно, может быть сделано численными методами.