Вычисляем 
и записываем их соответственно на места 
.
(iv) Вычисляем 
и записываем их соответственно на места 
.
Заметим, что для хранения информации о вращении у нас теперь не хватает места в позиции того элемента, который становится нулем, так как нужно разместить как 
, так и 
. Конечно, мы могли бы сохранить лишь один из них, так как другой можно получить, но это нецелесообразно, и если должна быть гарантирована численная устойчивость, нам нужно хранить меньший из них и помнить, который из двух запоминается!
51. Преобразования можно модифицировать таким же способом, как было описано в § 49. В этой модификации строки с 
-й до 
-й не изменяются на первых 
шагах. Теперь r-й основной шаг таков.
Для каждого значения 
от 1 до 
:
(i) Вычисляем 
(ii) Вычисляем 
. Записываем х на место 
.
(iii) Для каждого значения 
и записываем их соответственно на места и 
Так как каждая из матриц вращения имеет определитель, равный 
то главный минор 
порядка определяется после выполнения 
основного шага
Будем называть триангуляризацию с помощью плоских вращений триангуляризацией Гивенса, независимо от того, организована ли она, как в § 50 или так, как мы только что описали.
Аналогично алгорифму § 48 мы имеем алгорифм, в котором 
основной шаг состоит из левых умножений на матрицы вращения соответственно в плоскостях 
причем нули в 
столбце получаются один за одним; 
основной шаг состоит в следующем (отметим аналогию с § 48).
от 
до 
Если 
берем 
Записываем 
на место 
от 
до 
