Общие замечания по итерационному процессу

71. Картина, описанная в нашем примере, типична для матриц с числом обусловленности порядка 104, и читателю рекомендуется тщательно ее изучить. Для матриц третьего порядка едва ли стоит говорить о «совокупном влиянии» ошибок округления и важно понять, что в общем случае это накопление играет сравнительно малую роль. Мы проиллюстрируем это показом грубых оценок различных ошибок, возникающих при решении этим методом нормированной системы уравнений с нормированной правой частью. В этих оценках учтен статистический эффект. Предполагаем, что число обусловленности порядка , максимальная компонента точного решения порядка существенно меньше 1/2.

(а) Максимальная компонента первого и всех последующих приближений порядка .

(б) Общий уровень компонент невязки, соответствующей первому приближению, порядка .

(в) Общий уровень ошибок в компонентах первого приближения порядка .

(г) Общий уровень компонент невязки, соответствующей второму приближению (и всем следующим приближениям) порядка .

(д) Общий уровень ошибок во втором приближении порядка

Заметим, что оценки невязок содержат множитель следовательно, на всех этапах пропорциональны величине вычисленного решения и не зависят от числа обусловленности . Однако мы знаем, что не может быть больше , так что обусловленность матрицы определяет максимальную величину, достигаемую приближениями и, следовательно, невязками.

Хотя мы говорили о процессе как итерационном, мы ожидаем, что в общем случае должно быть очень мало итераций. Предположим, например, что мы имеем матрицу, для которой Это соответствует очень плохой обусловленности. Тем не менее на мы могли бы ожидать получения на каждом шаге двоичных знаков, так что после второго приближения ответ должен быть верным с рабочей точностью. Если число итераций невелико, то итерационный процесс более экономичен, чем вычисление решения целиком в арифметике с двойной точностью; кроме того, он дает действительную гарантию того, что окончательный вектор совпадает с правильно округленным решением Однако, если то итерационный процесс, вообще говоря, не будет сходиться и ни одно из приближенных решений не будет иметь верных знаков. При работе с двойной точностью мы будем иметь несколько верных знаков при условии, что