Прямое треугольное разложение

36. Вернемся на некоторое время к процессу исключения без перестановок. Очевидно, что промежуточные матрицы сами по себе имеют мало значения, и основная цель процесса — получить матрицы такие, что

Если даны и то решение с любой правой частью может быть сведено к решению двух треугольных систем

Это наводит на мысль, что нужно рассмотреть возможность получения матриц непосредственно из без промежуточных этапов.

Так как должны быть исключены, нет никакого смысла пользоваться нашей старой системой обозначений. Поэтому мы рассмотрим проблему определения нижней треугольной матрицы с единичными

диагональными элементами, верхней треугольной матрицы и вектора с таких, что

Предположим, что первые строк и с могут быть определены приравниванием первых строк обеих частей уравнения (36.3). Тогда, приравнивая элементы строки, имеем

Из первых уравнений (36.4) величины определяются единственным образом. При произвольном выборе уравнение определяет Тогда оставшиеся уравнения однозначно определяют величины от до Так как для первой строки результат верен, то он верен и в общем случае.

Мы видим, что произведение определяется однозначно, но или или могут выбираться произвольно. Если мы потребуем, чтобы была нижней треугольной матрицей с единичными диагональными элементами, то . В этом случае деления имеют место только при определении и делителями являются Разложение не может не осуществиться, если и тогда оно единственно. Элементы определяются в следующем порядке:

первая строка вторая строка вторая строка с и т. д. (36.6) Легко проверить, что они также могут быть определены в таком порядке:

первая строка первый столбец вторая строка второй столбец L и т. д. (36.7)