Численный пример
23. В табл. 1 мы показываем применение метода Гаусса с перестановками на примере решения системы уравнений четвертого порядка в 
-значной десятичной арифметике с фиксированной запятой. Работая с карандашом и бумагой, неудобно выполнять перестановки, так как это приводит к переписыванию уравнений в нужном порядке. Вместо этого мы подчеркнули ведущие уравнения. Мы включили уравнения, которые были использованы как ведущие, в каждую из преобразованных систем, так что все эти системы эквивалентны исходной. Решение вычислено с одним и тем же числом разрядов после запятой, и самая большая его компонента имеет 4 знака. Другими словами, мы получили 
-значное блочноплавающее решение.
Сразу же можно видеть, что решение вряд ли должно иметь больше двух верных знаков в наибольшей компоненте, так как она получается делением 0,5453 на — 0,0052. Присутствие в делителе лишь одной ошибки округления будет означать, что и без накопления ошибок мы должны быть готовы к ошибке во втором знаке в вычисленном В общем случае, если в каком-либо ведущем элементе потеряно к верных знаков, нам следует ожидать соответствующей потери и в некоторых компонентах решения. В табл. 1 мы даем ошибки округления, полученные на каждом шаге преобразования. Значение этих ошибок обсуждается в §§ 24, 25. Мы также приводим 
переставленные таким образом, чтобы дать правильные треугольные матрицы, и соответственно переставленное точное произведение 
При точном вычислении в триангуляризации оно должно быть равно 
со строками 4, 2, 3, 1 в порядке 1,2, 3, 4. Заметим, что матрица 
действительно близка к переставленной, причем наибольшее отклонение равно 0,00006248 в элементе (1,4).
Наконец, мы даем точные значения 
для вычисленного х и вектора 
определенного равенством 
Этот вектор называется вектором-невязкой, соответствующим х, а его компоненты называются невязками. Можно видеть, что максимальная невязка равна 0,03296. Это необычайно мало, так как мы ожидаем ошибку порядка единицы
в одном 
, а такая ошибка может дать невязку порядка единицы. Мы увидим позднее, что решения, вычисленные по методу Гаусса и обратной подстановке, всегда имеют ошибки, которые связаны таким образом, что дают обманчиво малые невязки сравнительно с ошибками в решении. Ошибки в компонентах в действительности равны —0,1, —1,0, —0,9, 1,4.
