Вычисление собственных векторов

67. Метод вычисления собственных векторов, описанный в §§ 53—55, не учитывает симметрию, и в действительности симметрия, как правило, нарушается при исключении Гаусса с перестановками. Поэтому метод может быть сразу же применен к квазисимметричным матрицам. В последующих главах этой книги мы будем иметь дело с собственными векторами трехдиагональных матриц, которые получаются с помощью подобных преобразований из более общих матриц. Таким образом, будем иметь

для некоторой невырожденной матрицы Соответственно собственному вектору у матрицы С нас будет интересовать вектор х, определенный соотношением

так как он будет собственным вектором матрицы А. Если элементы имеют большой разброс порядков величин, то это обычно происходит из-за матрицы X, имеющей очень различные по величине столбцы. Если X заменить на У, определенную равенством

где есть любая невырожденная диагональная матрица, то

где также трехдиагональная матрица. Изменения в матрице приведут к изменениям в перестановках, которые используются в исключении Гаусса для матрицы также повлияют на эффективность

вектора который мы использовали в качестве правой части для обратной подстановки в § 54. Вообще говоря, кажется целесообразным выбирать так, чтобы столбцы имели один и тот же порядок величин, и тогда применять к полученной матрице метод §§ 53—55.