Дополнительные замечания

Первый детальный анализ ошибок округления, возникающих при выполнении арифметических операций с фиксированной запятой, был дан Нейманом и Голдстайном (1947) в их фундаментальной работе по обращению матриц. Их система обозначений и общая линия рассмотрения были приняты несколькими последующими авторами.

Соответствующий анализ для операций с плавающей запятой был дай впервые Уилкинсоном в 1957 г. и после периода улучшения опубликован в 1960 г. На выбор формы, в которой выражены результаты, повлияло убеждение, что эффект ошибок округления, сделанных в ходе решения матричных проблем, лучше всего выражается в терминах эквивалентных возмущений исходной матрицы. Результаты § 55 могут быть несколько улучшены следующим образом. Для любого имеем

откуда

из ортогональности Следовательно, существует по крайней мере одно собственное значение в круге с центром и радиусом у. Рассмотрим теперь значения такие, что

Для таких соответствующие круги и круг с центром радиусом а имеют внутреннее касание. Следовательно, единственное собственное значение из последнего круга лежит в каждом из соответствующих кругов с центром удовлетворяющим (3), и поэтому в их пересечении. Очевидно, что пересечение есть круг с центром и радиусом и мы имеем

Поэтому единственное собственное значение находится в круге с центром и радиусом Этот результат неявно присутствует в работе Бауэра и Хаусхолдера (1960). Более точный результат для эрмитовых матриц был дан Като (1949) и Темпле (1952). На практике присутствие дополнительного множителя в (55.3) не очень важно, так как результат имеет значение лишь тогда, когда а существенно больше чем 8.