Прямое приведение к форме Хессенберга

11. В гл. 4, § 17 мы видели, что метод Гаусса без выбора главного элемента дает такие треугольные матрицы что

Затем в § 36 мы показали, что элементы могут определяться приравниванием элементов в обеих частях (11.1). Далее было показано, как может быть осуществлен выбор ведущего элемента. Покажем аналогично, на время игнорируя выбор ведущего элемента, что уравнение (10.6) можно использовать для нахождения непосредственно элементов минуя все промежуточные стадии определения Соответственно опустим нулевой индекс , так как он уже не имеет отношения к делу. При уравнение (10.6) имеет вид

Используя структуры этих матриц, покажем, что, приравнивая последовательно столбцы в обеих частях, можно определить все элементы столбец за столбцом. На самом деле, приравнивая столбцы, определяем столбец столбец Как заранее известно, первый столбец равен

Доказательство по индукции. Предположим, что приравнивая первые столбцов в уравнении (10.6), мы определили первые столбцов и первые столбцов Приравняем элементы столбца. Тогда элементы в левой стороне равны

в то время как элементы в правой стороне равны

где мы включили члены с которые равны нулю, для того, чтобы первые слагаемые не были особыми. Так как столбец уже. известен, выражение (11.3) можно вычислить при всех значениях Приравнивая элементы, последовательно получаем Это отличные от нуля элементы

столбца столбца Процесс заканчивается, когда определится столбец Трудностей в начале процесса не возникает, так как первый столбец известен.

Эта формулировка приведения позволяет получить все преимущества накопления скалярных произведений. Так, из (11.3) и (11.4) имеем формулы

имеет вид скалярного произведения, а — скалярного произведения, деленного на

Заметим, что мы можем определить целиком этим способом потому, что a priori известен первый столбец Не слишком важно, что этот столбец равен Если взять в качестве первого столбца произвольный вектор, первый элемент которого равен единице, то мы снова сможем определить целиком , и уравнения не изменятся. (Результат, который мы сейчас доказали, является близкой аналогией результата § 7.) Частично по этой причине мы включили члены Если мы следуем формулировке § 8, то выбор первого столбца отличным от эквивалентен вычислению перед началом обычного процесса. Это замечание будет полезно позднее.